面積
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面積（めんせき）とは、平面内の、あるいは曲面内の図形の大きさ、広さ、の量である。立体物の表面の面積の合計を特に表面積（ひょうめんせき）と呼ぶ。
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[編集] 面積の単位
[編集] 古いイギリスの単位
今日では以下のように定義されている。
- 平方フィート - 0.09290304 m²
- 平方ヤード - 9 平方フィート - 0.83612736 m²
- 平方パーチ - 30.25 平方ヤード - 25.2928526 m²
- エーカー - 160 平方パーチまたは 43,560 平方フィート - 4,046.8564224 m²
- 平方マイル - 640 エーカー - 2.5899881103 km²
[編集] 古い日本の単位
- 勺（しゃく） - 0.033058 m²（体積の単位の勺とは別）
- 合（ごう） - 10 勺 - 0.33058 m²（体積の単位の合とは別）
- 坪（つぼ）・歩（ぶ） - 30 合 - 3.30579 m²
- 畝（せ） - 30 坪 - 99.17355 m²
- 段・反（たん） - 10 畝 - 991.7355 m²
- 町（ちょう）・町歩（ちょうぶ） - 10 段 - 9,917.355 m²
- 尺坪（しゃくつぼ） - 0.09183 m²
- 帖・畳（じょう） - 0.5 坪 - 1.6528926 m²
- 方丈（ほうじょう） - 9.182736453 m²
[編集] その他の単位
[編集] 面積を求める公式
[編集] 平面
基本的な面積を計算する公式をいくつか示す。
- 長方形・正方形: ab （a = 縦の長さ、b = 横の長さ）
- 菱形: ab/2 （向かい合う一組の頂点の距離（対角線の長さ）を a、もう一本の対角線の長さを b とする）
- 台形: (B + b)h/2 （B と b はそれぞれ平行な辺の長さ、h = 平行な辺の間の距離）
- 平行四辺形: ah （a = 底辺の長さ、h = 高さ）
- 平行四辺形: |A × B| = |A||B|sinθ （A, B は平行四辺形を張る独立なベクトル、"×" はベクトルの外積、"| |" はベクトルの大きさ、θ は二つのベクトルのなす角）
- 三角形: ah/2 （a = 底辺の長さ、h = 高さ）、1/2absinθ（a、b = 辺の長さ、θ = 2辺のなす角の大きさ（rad））、ヘロンの公式
- 各頂点の座標が与えられた多角形: 座標法を参照
- 円: πr 2 （π = 円周率、r = 半径）
- 扇形:r2θ/2 （θ = 中心角の大きさ（rad））
- 楕円:πab（a、b = 半長軸及び半短軸の長さ）
- 正多角形: Pa/2 （P = 周辺の長さ、a = 多角形の辺心距離（中心から辺の中心までの長さ））
- 格子多角形:ピックの定理
- アステロイド曲線に囲まれた部分:3πa/8 （アステロイド曲線の方程式 x2/3 + y2/3 = a2/3）
- カージオイド曲線に囲まれた部分:3πa/2 （カージオイド曲線の方程式 r=a(1+cosθ)）
[編集] 立体
立体の表面積、側面積を求める公式を以下に示す。
- 立方体の表面積: 6s2 （s = 一辺の長さ）
- 直方体の表面積: 2((lw) + (lh) + (wh)) （l = 縦の長さ、w = 横の長さ、h = 高さ）
- 円柱の側面積: 2πrh （r = 底面の半径、h = 高さ）
- 斜切円柱の側面積: πr(h1+h2) （h1 = 最大母線の長さ、h2 = 最小母線の長さ）
- 円錐の側面積: πar （a = 母線の長さ、r = 底面の半径）
- 頭を切った円錐の側面積: πa(R+r) （a = 母線の長さ、R,r = 両底面の半径、h = 高さ）
- 円柱の表面積: 2πr (h + r) （r = 底面の半径、h = 高さ）
- 円錐の表面積: πr (r + a) （r = 底面の半径、a = 母線の長さ）
- 球の表面積: 4πr 2 （r = 半径）
円以下の公式は、正確には積分を使って正当化される。さらに幅広い図形についてこの概念を定義するためには、積分を避けて通ることはできない。
[編集] 定義不良な面積 Ill-defined areas
選択公理を受け入れると、「意味のある面積を定義できない図形」が存在することを証明できる （ルベーグ測度を参照）。 このような「図形」（簡単に図示することは出来ない）はタルスキーの円積問題 (en:Tarski's circle-squaring problem) に関係している（三次元における類似の例として、「体積の定義できない図形」とバナッハ＝タルスキーのパラドックスがある）。 このような集合は現実の世界では生じない。