ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ9

1 ：１３２人目の素数さん：2024/06/28(金) 10:23:00.89 ID:T/r179LF.net

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1717250604/
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ8

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

前スレ
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1715525381/

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

952 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 17:36:04.46 ID:nq1q+aE5.net

>>951 まあ、このスレももう終わるし

953 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 17:41:58.36 ID:Zapt6xzy.net

答えになってないし、止めるつもりもないだろ

954 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 17:56:25.48 ID:QRZeclB3.net

早くガロア理論に進みたいです。

955 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 18:02:13.82 ID:nq1q+aE5.net

>>953　そのうち飽きるでしょ

956 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 18:03:11.13 ID:nq1q+aE5.net

>>954　今進めば？

957 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 19:39:32.13 ID:QRZeclB3.net

逆数をとると極と零点が入れ替わります
リーマン球面
領域は開集合
有理型、有理関数

重要な定理です
立体射影は角の大きさを変えない

回転数または指数
J=(1/2πI)∫C dz/(z-a)
0にホモロジー同値C～0(D)
ホモローグ0
ここは今までとかなり違いますね

958 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 19:44:28.86 ID:QRZeclB3.net

そうですね。今から進むことにしますね。
このスレで推薦されているガロア理論の頂を踏むから読み始めたいと思います。
なるべく早く4～5年以内にみなさんに追い付きたいと思います。

959 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 20:03:45.06 ID:QRZeclB3.net

851と185
単位正方形で覆えます
取れるだけ取る、を繰り返します
851÷185の余りは111
185÷111の余りは74
111÷74の余りは37
74÷37は割り切れる
よって最大公約数は37
割り切れるというのはそれが単位正方形になるということですね。
要するに単位正方形が縦23個横5個あったということです。
5×5が4個とれる、3×5が残る
3×3が1個とれる、2×3が残る
2×2が1個とれる、1×2が残るがこれは1×1が2個。

960 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 20:20:00.82 ID:QRZeclB3.net

定理1 1の証明
a=qb+rとする。
(a, b)=G、(b, r)=Hとする
r=G(A-qB)よりrはGの倍数。
Gはrとbの公約数になるのでH≥G

a=H(qC+D)よりaはHの倍数
Hはaとbの公約数になるのでG≥H
よってG=H。

961 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 20:57:57.74 ID:QRZeclB3.net

問1 2
(1) (-2, 7)
(2) (1, -1)
(3) 解なし

定理1・2の証明
a, bは0以外の整数とする
S={ax+by|x, yは整数}とする

u, v∈S⇒u+v∈S、
u∈S、kは整数⇒ku∈S
を証明する。
u=aA+bB、v=aC+bDとおける
u+v=a(A+C)+b(B+D)∈S
ku=a(kA)+b(kB)∈S

Sの要素の中の正整数の中で最小のものをHとする。
まずそのような正整数が存在することを証明する。
x=1、y=0とするとa∈S
x=-1、y=0とすると-a∈S
a≠0より正整数|a|∈Sとなる
正整数の集合は最小数をもつのでHは存在する。

Sの要素は全てHの倍数であることを証明する。
もしHで割り切れないSの要素Jが存在すると仮定する。J=qH+r、0<r<Hとおける。
するとJ, H∈Sよりr=J-qH∈S
これはHの最小性にはんするのでr=0
よってSの要素は全てHの倍数である。a, b∈SよりGはHの倍数。
ax+by=G(Ax+By)よりSの要素は全てGの倍数。よってHもGの倍数。
よってH=G。これで定理1・2は証明された。

962 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 21:03:19.48 ID:QRZeclB3.net

定理1・3の証明
a, b, cは0以外の整数とする
S={ax+by+cz|x, y, zは整数}とする

u, v∈S⇒u+v∈S、
u∈S、kは整数⇒ku∈S
を証明する。
u=aA+bB+cc、v=aD+bE+cFとおける
u+v=a(A+D)+b(B+E)+c(C+F)∈S
ku=a(kA)+b(kB)+c(kC)∈S

Sの要素の中の正整数の中で最小のものをHとする。
まずそのような正整数が存在することを証明する。
x=1、y=0、z=0とするとa∈S
x=-1、y=0、z=0とすると-a∈S
a≠0より正整数|a|∈Sとなる
正整数の集合は最小数をもつのでHは存在する。

Sの要素は全てHの倍数であることを証明する。
もしHで割り切れないSの要素Jが存在すると仮定する。J=qH+r、0<r<Hとおける。
するとJ, H∈Sよりr=J-qH∈S
これはHの最小性に反するのでr=0
よってSの要素は全てHの倍数である。a, b∈SよりGはHの倍数。

ax+by+cz=G(Ax+By+Cz)∈SよりSの要素は全てGの倍数。よってHもGの倍数。
よってH=G。これで定理1・3は証明された。

963 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 21:09:30.73 ID:QRZeclB3.net

第一章の1は最大公約数を互除法で求めるというものでした。定理の証明を書き出してみました。今回はよく理解出来ましたが分からない所があっても枠組を掴めたら進むのがよいのですよね。

964 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 21:12:48.72 ID:QRZeclB3.net

ガロア理論の頂を踏んで皆さんの話を少しでも理解したいと思います。

965 ：１３２人目の素数さん：2024/07/20(土) 21:39:10.98 ID:CFwYemBw.net

代数なら、これを読め
代数学　雪江

966 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 07:06:17.54 ID:epy3Qfe+.net

>>965 理由は？

967 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 09:41:21.49 ID:tRoFgJLj.net

問1・3
a+bは余り2、abは余り2

定義1・1
mは正整数、a, bは整数とする
a, bをそれぞれmで割った余りが等しい時、
a≡b mod m
aとbはmを法として合同である
27≡13 mod7
それそれ余りは6

定義1・2
a-bがmで割り切れる時、
a≡b mod m
27≡13 mod7
27-13=14は7で割り切れる

同値性の証明
a=mc+d、b=me+f、
0≤d≤m-1、0≤f≤m-1とおける。

1・1⇒d=f⇒a-b=m(c-e)⇒1・2
1・2⇒a-b=m(c-e)+(d-f)はmで割り切れる⇒(d-f)はmで割り切れる。
ここて0≤|d-f|≤m-1よりd-f=0すなわちd=fとなるから1・1が成り立つ

よって定義1・1⇔定義1・2である

968 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 09:59:43.84 ID:tRoFgJLj.net

定理1・4の証明
mを正整数、a, b, c, dを整数とする
a≡b mod m、c≡d mod mの時、
(1) a+c≡b+d mod m
証明
a-b=km、c-d=lmとおける
(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=(k+l)mより成り立つ。

(2) a-c≡b-d mod m
(a-c)-(b-d)=(a-b)-(c-d)=(k-l)mより成り立つ。

(3)ac≡bd mod m
ac-bd=ac-bc+bc-bd=(a-b)c+b(c-d)
=kmc+lmb=m(kc+lb)より成り立つ。
ここでc=a、d=bとすると
a^2≡b^2
これを繰り返すと正整数nに対して
a^n≡b^nが成り立つ。

969 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 10:10:55.35 ID:tRoFgJLj.net

ここで扱ったのは5で割った余りで整数を分類するという課題でした。
余りは0, 1, 2, 3, 4の5種類あり、全ての整数はこの5個の分類のどれか1つに必ず入ります(存在)。しかも唯一つに入ります(一意性)。
それぞれを剰余類と言います
剰余類の集合をZ/5Zと表します
剰余類は数の集合の名前なのだがそれ自身を数のように扱って計算に載せることが出来ます。

970 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 10:21:31.79 ID:tRoFgJLj.net

問1・4
(1) Z/5Zの和の表
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 0 1 2 3 4

(2) Z/5Z の積の表
･ 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

これはZ/5Zにおける全ての足し算、掛け算を表しています。

971 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 10:38:40.67 ID:tRoFgJLj.net

第2節は余りについてでした
合同式、剰余類、Z/5Zの和と積。

差については
-0≡0、-1≡4、-2≡3、-3≡2、-4≡1により和に帰着出来ます。

a-bの表
- 0 1 2 3 4
0 0 4 3 2 1
1 1 0 4 3 2
2 2 1 0 4 3
3 3 2 1 0 4
4 4 3 2 1 0

a+(5-b)の表
+ 0 4 3 2 1
0 0 4 3 2 1
1 1 0 4 3 2
2 2 1 0 4 3
3 3 2 1 0 4
4 4 3 2 1 0
和の表(a+bの表)と回り方が逆になっているだけで同じようなものですね。

972 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 10:53:08.72 ID:kBYuwju7.net

代数学1　群論入門［第2版］
雪江　明彦 著
定価：税込 2,310円（本体価格 2,100円）
発刊年月 2023.11
ISBN 978-4-535-78997-5
判型 A5判
ページ数 192ページ
代数学・数論
難易度 テキスト：初級

973 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 11:28:31.91 ID:kBYuwju7.net

ファイナンスの数学　楠岡
https://www.mathsoc.jp/publication/tushin/0602/kusuoka62.pdf

974 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 11:32:33.95 ID:kBYuwju7.net

宇沢弘文
https://toyokeizai.net/articles/-/151173

975 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 12:15:09.49 ID:kBYuwju7.net

ナッシュ均衡
https://www.m-keiei.jp/musashinocolumn/nashequilibrium

976 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 12:44:37.68 ID:/Muq3YEu.net

setAと同窓の阪大文系雑学家爺が自分のノート転載してる感。

977 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 13:50:59.60 ID:tRoFgJLj.net

問1・5

+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4

978 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 14:25:50.65 ID:tRoFgJLj.net

σ=60°回転として
σ2=120、σ3=180、σ4=240、σ5=300
σ0=0=eとする、σ6=360=σ0=e

集合の要素のことを元(げん)と言いますね
群の演算表

定義1・3
演算・が定義されていて演算・に関して閉じている
∀x, y∈Gに対してx・y∈Gとなる
演算・に関して結合律が成り立つ
∀x, y, z∈Gに対して
(x・y)・z=x・(y・z)となる
単位元eが存在する
∃e∈G, ∀a∈G、
e・a=a・e=aとなる
逆元a^(-1)が存在する
∀a∈G, ∃b∈G、
a・b=b・a=eとなる
この時、b=a^(-1)と書く。

1つの元σによって全ての元を作れる。これを巡回群と言う
群の元の個数を位数と言う
有限群、無限群
位数6の巡回群C6
CはcyclicのC

979 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 15:11:46.28 ID:tRoFgJLj.net

3節は群の導入でした。群の定義、巡回群、単位元e、逆元a^(-1)、C6。
単位元の存在の確認。
逆元の存在の確認。
結合律の成立の確認。
積に関して閉じていることの確認。

980 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 15:23:00.21 ID:kBYuwju7.net

統計学入門は赤本、青本、古いかも
統計学入門　UP
自然科学の統計学

981 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 16:20:27.98 ID:epy3Qfe+.net

>>976　本読んでるだけアレよりマシかと

982 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 16:47:27.17 ID:kBYuwju7.net

大法螺
>私は経済学部出身で統計学や線型代数は日常的に使っていたので皆さんよりも出来ると思いますが微分積分は学部の時も院の時もその後も余り使わずに過ぎました。(東大ではそれが当たり前でした)。

983 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 17:03:32.79 ID:epy3Qfe+.net

解析教程　ノート

定義1.1　（ダランベール1765）
実数列{s[n]}が収束するとは、ある実数sが存在して
∀ε＞0　∃ m ∈ Ｎ　∀ n>m　|s[n] - s|＜ε
が成り立つときに言い、
ｓ＝ lim(n→∞) s[n]　または　s[n] → s
と書き、sを実数列{s[n]}の極限という。
どんなsに対しても収束しないとき、実数列は発散するという。

定義1.7　（コーシー1821）
実数列{s[n]}は
∀ε＞0　∃ m ∈ Ｎ　∀ n>m　∀ i∈N　(i≧1)⇒|s[n] - s[n+i]|＜ε
を満たすとき、コーシー列という。

定理1.8　（※コーシー1821）
実数列{s[n]}が(実数の極限値に)収束するためには、
コーシー列であることが必要かつ十分である。

収束列がコーシー列であることは明らかであるが、
コーシー列が収束列であることを示すには実数の定義が必要である。

定義1.9　（カントール1872）
実数とは有理コーシー列の以下の同値関係による同値類である。
「有理コーシー列{s[n]}と{v[n]}が同値であるとは、lim(n→∞)(s[n]-v[n])=0であるときをいう」

（※定理1.8の完全な証明は（ランダウ1930）による）

984 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 17:35:35.84 ID:tRoFgJLj.net

巡回群C6と剰余群Z/6Zは同型
定義1・4
群G, G'、写像φ
φ: G→G'

φは全単射であり
∀x, y∈Gに対して
φ(x＊y)=φ(x)×φ(y)となるとする

この時、φを同型写像と言う。
この時、GとG'は同型であると言う
G≅G'と書く

写像とは集合Xと集合Yに対して
Xから1つ元を選ぶとそれに対応するYの元が唯一つ決まる決め方のこと。
1つずつ組にして対応させることを全単射と言う。
有限集合の時
|X|=|Y|、逆写像φ^(-1)が存在する。

全射とは全てのYの元がXからの移り先になっている写像のこと。
全射の例。Xの2つの元がYの1つの元と結ばれている場合。Yの全ての元がXの元のどれかと結ばれていれば問題なし。
全射でない例。Yの元の中にXと結ばれてないものが存在する場合。Xの全ての元がYの元と結ばれていれば写像ではある。
Xの元にYの元と結ばれていないものが存在する場合写像ではない

単射とはXの異なる元をYの異なる元にうつす写像。
単射の例。Yの中にXと結ばれていない元があってもよい
単射でない例。Yの中に異なるXの元と結ばれる1つの元があってはならない。

985 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 18:05:25.11 ID:tRoFgJLj.net

巡回群C6≅剰余群Z/6Zの証明

それぞれの演算表を書けばそれで証明になる。(証明終)

φ: σ^I→I'、I=0, 1, …, 5
φは全単射であり
φ(σ^I･σ^j)=(I+j)'=I'+j'
φ(σ^I)+φ(σ^j)=I'+j'
よってφは同型写像であるので
C6≅Z/6Zである。(証明終)

σが生成する群を<σ>と表す
C6はσによって生成される位数6の巡回群
Z/6Zは1'によって生成される位数6の巡回群

986 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 18:11:45.53 ID:tRoFgJLj.net

4節は同型について
演算してからうつす
=うつしてから演算する。
同型、同型写像、全単射、全射、単射、写像、生成、巡回群、<σ>
についての解説でした。

987 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 19:28:38.63 ID:tRoFgJLj.net

問1・6
部分群とは群の部分集合で群の構造を持つもののこと
σ6=eとする。
<σ3>は部分群をなす。
{e, σ3}は位数2の巡回群。正二角形
3, 6
{e}は部分群をなす。位数1の部分群。正一角形。<σ6>=<e>、6
{e, σ2, σ4}は部分群。正三角形。
<σ2>、2, 4, 6
C6自身もC6の部分群
<σ>、1, 2, 3, 4, 5, 6
6=1×6=2×3
0
0 0

0 3
0 0 3
3 3 0

0 2 4
0 0 2 4
2 2 4 0
4 4 0 2

988 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 19:48:18.54 ID:tRoFgJLj.net

定理1・5
巡回群Cm
Cmの部分群をHとする
Hの元のうちe以外で最小の冪をdとする。σ^d。

mがdの倍数であることを背理法で示す。
m=qd+r、0<r≤d-1、とおく。
(σ^d)^q=σ^(dq)∈H、σ^(-dq)∈H、
σ^m=e∈Hより
σ^m=σ^(qd+r)∈H、
σ^(-dq)σ^(qd+r)∈H
⇔σ^r∈H
d>rよりdの最小性に反する。
よってそのようなrは存在しない。r=0。m=qdとのるので生成元の冪はmの約数である。
よって巡回群Cmの部分郡は巡回群<σ^d>で表され、位数はqである。但しm=qdとする。

989 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 20:01:27.32 ID:tRoFgJLj.net

1-5節は部分群についてでしたね。
e∈G⇒e∈Hで、Gの単位元eはGの部分群Hに入り、更にHにおいても単位元になります。

m=qd+rとおけて
σ^m=eより
σ^(qd+r)=eとなる所がポイントてすね。これから
σ^(dq)×σ^r=e∈H、
σ^rはσ^(dq)の逆元になります
するとσ^dq=(σ^d)^q∈Hより
σ^r∈Hとなってしまい、
σ^dの最小性と矛盾しますね。
実際はσ^r=σ^0=eなのでした。
H=Cq={e, σd, σ2d, …, σ(q-1)d}と決定されました。σ^(qd)=σ^m=e

990 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 22:48:10.03 ID:tRoFgJLj.net

群の直積
(Z/3Z)×(Z/5Z)={(a, b)|a∈Z/3Z, b∈Z/5Z}
(2, 4)+(1, 2)=(3, 6)=(0, 1)
閉鎖律は成り立つ
結合律は成り立つ
単位元は(0, 0)
(a, b)の逆元は(-a, -b)'=(3-a, 5-b)

位数に関しては
|(Z/3Z)×(Z/5Z)|=|Z/3Z|×|Z/5Z|
=3×5=15

991 ：１３２人目の素数さん：2024/07/21(日) 23:35:41.23 ID:tRoFgJLj.net

群の直積は巡回群に限らず
群G, Hに対して
G×H={(a, b)|a∈G, b∈H}とし、
G×Hに演算￮を次のように定義する
∀(a, b), (c, d)∈(G×H)に対して
(a, b)￮(c, d)=(ac, bd)
これを群Gと群Hの直積という。直積G×Hは、￮に関して群をなす。
積は成分ことの積。
G, Hが有限群の時、位数は
|G×H|=|G|×|H|となる。
単位元は(eg, eh)、
(a, b)の逆元は(a^(-1), b^(-1))である

3個の群の直積G1×G2×G3は
{(a, b, c)|a∈G1, b∈G2, c∈G3}
演算￮は
(a, b, c)￮(d, e, f)=(ad, be, cf)で定義する。成分毎に独立しており他の成分は関係ない。

992 ：１３２人目の素数さん：2024/07/22(月) 00:15:31.24 ID:F+OPO1w3.net

問1・7
(1) 1、2
(2) 8

0 1 2 3 4
0 0 6 12 3 9
1 10 1 7 13 4
2 5 11 2 8 14
表には0～14が1回ずつ出ている
Z/15Zと(Z/3Z)×(Z/5Z)には1対1の対応がついているがこれだけでは同型とは言えない

Z/15Z≅(Z/3Z)×(Z/5Z)の証明
φが全単射であることは表で分かる
aを3で割った余りをa3、
aを5で割った余りをa5などと表すことにする。a15、a5。

φ: Z/15Z→(Z/3Z)×(Z/5Z)
a15 →(a3, a5)

φ(a15+b15)=φ(a15)+φ(b15)が成り立つことを証明する
φ(a15+b15)=φ((a+b)15)
=((a+b)3, (a+b)5)
φ(a15)+φ(b15)=(a3, a5)+(b3, b5)
=(a3+b3, a5+b5)=((a+b)3, (a+b)5)
よって成り立つ。φが同型写像であることが証明されたのでZ/15Z≅(Z/3Z)×(Z/5Z)が成り立つ。(証明終)

993 ：１３２人目の素数さん：2024/07/22(月) 00:44:46.61 ID:F+OPO1w3.net

一般に次が成り立つ。
(p, q)=1の時、
Z/pqZ≅(Z/pZ)×(Z/qZ)
φ: Z/pqZ→(Z/pZ)×(Z/qZ)を上に定めた記号を用いて
φ: αpq→(αp, αq)、α∈Z、
とする。

φが全単射であることは後で証明する。
φ(ab)=φ(a)φ(b)が成り立つことを証明する。
∀α, β∈Z2対して
φ(αpq+βpq)=φ((α+β)pq)
=((α+p, (α+β)q))
φ(αpq)+φ(βpq)=(αp, αq)+(βp, βq)
=(αp+βp, αq+αq)=((α+β)p, (α+β)q)
よってφ(ab)=φ(a)φ(b)が成り立つ。演算と写像の順序交換。

994 ：１３２人目の素数さん：2024/07/22(月) 01:11:48.52 ID:F+OPO1w3.net

定理1・6 中国剰余定理の証明
0～pq-1までのpq個の集合Sの中で考える
A, B∈S、A≠BであるA, Bが題意を満たすとして矛盾を導く
p|(A-B)、q|(A-B)、(p, q)=1より
pq|(A-B)
ここで0≤|A-B|≤pq-1よりA-B=0、A=B。よって2個以上は存在しない。0個または1個である。
これにより
φ: Z/pqZ→(Z/pZ)×(Z/qZ)が単射であることが証明された。つまりダブり無し
|Z/pqZ|=pq個である。
同様に|Z/pZ|=p個、|Z/qZ|=q個であるから全射である。対応なしがない。
これでφが全単射であることが証明された。証明終

φ: A→Bが
全射⇒|A|≥|B|
単射⇒|A|≤|B
全単射⇒|A|=|B||

995 ：１３２人目の素数さん：2024/07/22(月) 01:49:02.01 ID:F+OPO1w3.net

問1・8
3、1
5、2
7、3

百五減算というそうです
マジックナンバー15、70、21
70+15×3+21×2=157≡52

Z/105Z≅(Z/3Z)×(Z/5Z)×(Z/7Z)
この同型がポイントですね
マジックナンバーは
(1, 0, 0)→70、
(0, 1, 0)→21、
(0, 0, 1)→15となる
(1, 2, 3)→70+42+45=157≡52

996 ：１３２人目の素数さん：2024/07/22(月) 02:10:43.90 ID:F+OPO1w3.net

定理1・7 中国剰余定理の証明
x≡a mod p、x≡b mod q、x≡c mod r、p, q, rは対毎に互いに素とする

マジックナンバーを作る
qrs≡1 mod p、prt≡1 mod q、
pqu≡1 mod r
pv+(qr)s=1、ここで(p, qr)=1より
解(s0, v0)∈Z×Zを持つ。
同様にt0, u0という解も持つ。
これらがマジックナンバーであり
答えは(apqs+bprt+cpqu)105
が存在する
一意性の証明
x, y、x≠yとすると3通りの余りが全て等しいから
x-yはp、q、rの全てで割り切れる。それぞれが他と互いに素であるから積pqrで割り切れる。
0≤|x-y|≤pqr-1よりx-y=0、x=y
従って2個以上は存在しない
一意性が証明された。

997 ：１３２人目の素数さん：2024/07/22(月) 02:32:30.05 ID:F+OPO1w3.net

p, q, rが対毎に互いに素ならば
Z/pqrZ≅(Z/pZ)×(Z/qZ)×(Z/rZ)
であることの証明

α, β∈Zとする。
φ: Z/pqrZ→(Z/pZ)×(Z/qZ)×(Z/rZ)をαpqr→(αp, αq, αr)で定義すると
p, q, rが全て一致しない限り同じ点にはうつらないので単射である
また|Z/pqrZ|=pqr個であり
|Z/pZ|×|Z/qZ|×|Z/rZ|=pqrであるから|A|<|B|とは成り得ず、全射でもある。よってφは全単射である。
Aはpqr個、Bは最大でもpqr個、φは単射なので等号が成立するしかない。
単射の条件は|B|≥pqr、
分解による条件は|B|≤pqr
よって|B|=pqrとなる。
φ(αpqr+βpqr)=φ((α+β)pqr)
=((α+β)p, (α+β)q、(α+β)r)
φ(αpqr)+φ(βpqr)=
(αp, αq, αr)+(βp, βq, βr)
=(αp+βp, …)
=((α+β)p, …)
よって演算と写像の交換が成り立つ。φが同型写像であることが証明された。よって同型である(証明終)

998 ：１３２人目の素数さん：2024/07/22(月) 02:36:48.02 ID:F+OPO1w3.net

1-6節は直積です
中国剰余定理、同型、同型写像、など。繰り返しが多く分かりやすいですね。

999 ：１３２人目の素数さん：2024/07/22(月) 02:40:52.71 ID:F+OPO1w3.net

百五減算は面白いですね
x≡1 mod3
x≡2 mod5
x≡3 mod7

マジックナンバーは
70、21、15
x≡70+42+45=157≡52 mod 105

1000 ：１３２人目の素数さん：2024/07/22(月) 02:47:20.98 ID:F+OPO1w3.net

p, q, rが素数でなくても対毎に互いに素ならば分けられるので
Z/(2^3×3^4×5^2)Z≅
(Z/8Z)×(Z/81Z)×(Z/25Z)です。

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