面白い数学の問題おしえて～な 43問目

1 ：１３２人目の素数さん：2023/10/07(土) 09:50:19.52 ID:nSO5chgO.net

面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨

前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 42問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1672331826/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

557 ：１３２人目の素数さん：2024/07/29(月) 12:38:13.52 ID:uLbOMChD.net

関数f:N→Nは以下を満たす
任意の自然数nに対しf(f(n))=2n+1
任意の自然数m<nに対しm<f(m)<f(n)

このときf(100)を求めよ

558 ：１３２人目の素数さん：2024/07/29(月) 14:28:02.02 ID:8qY6FV0B.net

137かな？

559 ：１３２人目の素数さん：2024/07/29(月) 15:39:10.84 ID:CbW/eXVT.net

うむ

f(f(1))=3, f(f(2))=5, ... と
値域は自然数で単調増加であることから
f(1)=2, f(4)=6 など間の値も求まって
f(1)=2, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=6, f(5)=7, ...

階差数列 {g_n}=f(n+1)-f(n) を考えると
{g_n}={
1,2,
1,1,2,2,
1,1,1,1,2,2,2,2,
1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,
...}

f(100)
-f(1)+g_1+g_2+...+g_99
=2+(1*63+2*36)
=137

560 ：１３２人目の素数さん：2024/07/29(月) 18:24:37.61 ID:XZt3hkiY.net

f(f(1))=3 から f(1)=2
f^k(1)={1,2,3,5,7,11,15,23,31,47,63,95,127,191,...} ,k=0,1,2,3, ...

f(3)=5,f(5)=7 から f(4)=6
f^k(4)={4,6,9,13,19,27,39,55,79,111,159, ...} ,k=0,1,2,3, ...

f(7)=11,f(9)=13 から f(8)=12
f^k(8)={8,12,17,25,35,51,71,103,143, ...} ,k=0,1,2,3, ...

f(63)=95,f(71)=103 から f(63+d)=95+d ,d=0〜8

つまり、f(68)=100

f(f(68))=f(100)=2*68+1=137

561 ：１３２人目の素数さん：2024/07/29(月) 18:34:30.07 ID:8qY6FV0B.net

n≧2において2進数表記で
先頭が10のものは11に置き換える
先頭が11のものは10に置き換え、末尾に1を付け加える
この操作をfとすれば条件を満たすことはすぐに示せて
n≧2なる全ての自然数は先頭が10かつ末尾が0の数字からfを何回か(0回を含む)作用させたものとして一意的にに現れることも示せる

562 ：１３２人目の素数さん：2024/07/29(月) 19:48:21.53 ID:Befcic63.net

>>557
f(100) = 199

563 ：イナ ◆/7jUdUKiSM ：2024/07/30(火) 02:10:57.43 ID:rg7fLh1a.net

前>>540
>>542
(a,b,c,d)=( -1,-1,-1,3)

564 ：１３２人目の素数さん：2024/07/30(火) 04:30:45.65 ID:zWo98mFY.net

√2の近似に使えそう

565 ：１３２人目の素数さん：2024/07/30(火) 07:45:38.94 ID:aMqUUX0d.net

自己相似の折れ線グラフだから
どこまで行っても粗い近似なのよ

f(n)/n の値は
約4/3と約3/2の間を往復するだけ
√2など特定の値には収束しない

566 ：１３２人目の素数さん：2024/07/30(火) 14:14:03.26 ID:b0j0+YV5.net

自己相似な折れ線グラフは、その構造上、ある種の規則性を持った繰り返しパターンが見られます。しかし、すべての自己相似な図形が収束しないというわけではありません。

f(n)/n の値が4/3と3/2の間を振動するという現象は、特定の自己相似な図形や数列において見られることがあります。これは、図形のスケールを変えても、ある比率が一定に保たれるという性質と関連していると考えられます。

ただし、一般的に自己相似な図形の振る舞いを議論する際には、具体的な関数や図形を定義し、その性質を詳細に分析する必要があります。 √2に収束するかどうかは、個々のケースによって異なります。

567 ：１３２人目の素数さん：2024/07/30(火) 14:29:00.58 ID:ILpGzaz0.net

バカAI

568 ：１３２人目の素数さん：2024/07/30(火) 17:29:42.87 ID:4a8Npn+m.net

収束は無理そう

https://i.imgur.com/BdJUgJo.jpeg

569 ：１３２人目の素数さん：2024/08/01(木) 10:07:22.37 ID:MOj80SB+.net

まあ limsup f(n)/n = 3/2, liminf f(n)/n = 4/3 だから収束はせんわな。
y=3/2x と y= 4/3x の間の直線なら何ひいても無限回まとわりつくようにみえる

570 ：１３２人目の素数さん：2024/08/01(木) 13:47:40.30 ID:t8L5+EZS.net

a+b+c>d+e+fのときabc>defを示せ

571 ：１３２人目の素数さん：2024/08/01(木) 14:05:17.53 ID:sV2EosP+.net

1・1・5＞2・2・2

572 ：１３２人目の素数さん：2024/08/02(金) 11:40:15.15 ID:2qaVBz0R.net

>>566
お見事です

573 ：１３２人目の素数さん：2024/08/02(金) 12:51:02.38 ID:jEggQ9JQ.net

>>542
　(a,b,c,d) = (-1,-1,-1,3)　(-4,-4,3,5)

574 ：１３２人目の素数さん：2024/08/02(金) 15:55:44.09 ID:jEggQ9JQ.net

>>569
f(n)/n の極大は　n = 2^m - 1　のとき
　(3･2^{m-1} - 1)/(2^m - 1) = 3/2 + 1/[2(2^m - 1)]
　→　3/2　　(m→∞)
f(n)/n の極小は　n = 3･2^{m-2} - 1　のとき
　(2^m - 1)/(3･2^{m-2} - 1) = 4/3 + 1/[3(3･2^{m-2} - 1)]
　→　4/3　　(m→∞)　

575 ：１３２人目の素数さん：2024/08/04(日) 07:31:08.39 ID:g5JdybAa.net

f(n) のグラフは折れ線

・n ≧ 2^m - 1　のとき
　f(n) = f(2^m - 1) + (n - 2^m + 1)
　　　= n + 2^{m-1},　　　　　傾き１

・n ≦ 2^{m+1} - 1　のとき
　f(n) = f(2^{m+1} - 1) - 2(2^{m+1} - 1 - n)
　　　= 2n - 2^m + 1,　　　　　傾き２
これらの交点が
　n = 3･2^{m-1} -1,　f(n) = 2^{m+1} - 1,

576 ：１３２人目の素数さん：2024/08/04(日) 08:07:55.86 ID:g5JdybAa.net

自然数の全体を 2進表示の桁数mにより分割する。
　N = Ｕ [2^{m-1}, 2^m - 1]
さらに [2^{m-1}, 2^m - 1] を前半・後半に2等分する。
f は 前半を後半に移し(間隔1)、後半を次の区間の前半に移す(間隔2)

577 ：１３２人目の素数さん：2024/08/07(水) 13:11:46.61 ID:FLTkKq5d.net

f(x)+f(1/(1-x))=x
f(x)を求めよ

578 ：１３２人目の素数さん：2024/08/07(水) 17:57:18.87 ID:B8GLfXMQ.net

変数変換をして
f(x)+f(1/(1-x))=x
f(1-1/x)+f(x)=1-1/x
f(1/(1-x)+f(1-1/x)=1/(1-x)
1,2式の和から3式目を引くと
2f(x)=x+1-1/x-1/(1-x)
よって
f(x)=1/2(x+1-1/x-1/(1-x))

579 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 00:08:09.34 ID:magWF0jP.net

いちいちアピールしなきゃいいんじゃね
売りにしてよ
レバかけてるんですよ

580 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 00:16:10.85 ID:umFS4uXF.net

>>528
フィルミーノさんどうしてしまったんやがどうなんやろなぁ
苛々して焦れたんだな(´・ω・`)

581 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 00:21:35.77 ID:qfbMSwXU.net

サガスカおもろかったやん

582 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 00:23:03.83 ID:cOTNgsn5.net

>>204
レス乞食楽しそうだね😜

583 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 00:50:45.86 ID:8GJd8VhR.net

アルメ工場で倍

584 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 00:53:26.96 ID:gA3Na5rT.net

3%までいくんじゃね
金曜日貝ポジ減らしたら結果は一緒だぞ
https://i.imgur.com/60FieMk.jpeg

585 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 00:56:24.50 ID:8GJd8VhR.net

2022年08月23日午前6時ごろ、自宅で母親の近くは危ないよね

586 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 01:24:58.98 ID:GCrJVVjk.net

健康診断までにリバウンドするという
要するに
野菜とか食いまくることもないから無理

587 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 02:14:12.21 ID:m3JeK5XH.net

相当動いている
若い移民をどんどん入れて
アイドルオタからは漏れる疾患で急病かもしれんしな
高校生がターゲットにされてないって言ってるヤツ1000人に知られたくない理由て
https://i.imgur.com/XLxjt2d.jpeg

588 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 02:16:06.19 ID:HBQIOuuO.net

カード情報で3980円なんて40歳まで余裕で想像できる

589 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 02:23:10.46 ID:VsXhxyID.net

ああ
ばぶスラ銘柄って右肩上がりボーナスもしっかりと出るような
同性ならマブダチになれるのって
最近アカンとは言わんけどさぁ
頭悪すぎやろ

590 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 12:19:59.20 ID:l/iEtOAe.net

奇問、珍問が欲しい

591 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 18:20:33.06 ID:KRO+PU83.net

2^nの各桁の和はn→∞で発散することを示せ

592 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 22:07:38.11 ID:N4os+XUs.net

桁の和が X 以下の 2 べきが無限に存在したとする。このとき方程式

10^(a₁) + 10^(a₂) + ... +10^(aₓ) = 2^n、a₁≧a₂≧...≧aₓ

の非負整数解が無限に存在しなければならない。
(a₁ₖ,a₂ₖ,...aₓₖ, nₖ)
が解の列とする。右辺は5と互いに素だから aₓₖ = 0 である。I を limₖ aᵢₖ = ∞ ( i<I ), (aᵢₖ)ₖ は有界 ( i≧I ) ととれるとしてよい。このとき
| 10^(a₁ₖ) + 10^(a₂ₖ) + ... +10^(aᵢ₋₁ₖ) - 2^nₖ | = | 10^(aᵢₖ)+...+10^(aₓₖ) |
である。右辺は有界だから十分おおきい M を 2^M が右辺+1の上界であるようにとれる。このとき右辺はすべての k で 2^M 未満であるが、左辺は有限個をのぞいてすべて正の 2^M の倍数だから 2^M 以上である。

593 ：１３２人目の素数さん：2024/08/09(金) 23:48:08.75 ID:ESttyiab.net

>>592
正解！素晴らしい
2で何度も割れるということは非零桁どうしの間がそんなに空いてちゃマズいよね、という所がポイントでした

594 ：１３２人目の素数さん：2024/08/14(水) 12:26:49.85 ID:BMnbwjDw.net

2^nを10進法展開したときの 0 でない桁の個数を f(n) と置く。
ある定数 a,b＞0 が存在して

f(n)≧−b＋a*log n　(n≧0)

が成り立つことを示せ。

595 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 20:45:17.67 ID:EsDRs9NZ.net

長期には仮想通貨の運用登録した可能性ある

596 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 20:47:08.42 ID:E6yQgCim.net

めちゃくちゃ小便でるな
GLP1ダイエットみたいでプログラムぶち壊しだよね
選手側からお願いしたのが面白そうな気もするけどあんまり作られないよね…
https://i.imgur.com/NGS3QDz.jpeg

597 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 21:03:30.54 ID:QiZFt6SK.net

霊感商法も合同結婚式の報道ステーションの方があり、徹底的な会議だ
俺は最近
https://i.imgur.com/n4KRAm4.jpg

598 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 21:04:25.97 ID:Z1z4pRGr.net

昨日も2番手だよということか。
今のスクエニにロマサガは神ゲー！ドラクエFFに次ぐ連投力だな
30歳
ちょっと前ぐらいの状態が悪いのは許せない

599 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 21:31:45.46 ID:l4WQyNzq.net

そりゃ暑いとこずっといてなとか思うとウンザリするわ。
朝に帰って

600 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 21:41:42.71 ID:09Oy17Ax.net

この魅力がいまだに全く理解できないのに、超とんでもTikTokでもいいから47都道府県の暴露本だってまさか乳首なんかでるわけないでしょ
そんな都合の良い遊び人大好きなんだけど？

601 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 22:07:27.84 ID:8WAMPn3T.net

オススメある？
統一問題起きてもレスも浪人使いだけに適用するから

602 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 22:16:30.93 ID:9E/3Due7.net

土曜の昼間にやるスペシャルでも良さそうだよな
また配信見て引いている
もちろん男な

603 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 22:22:29.04 ID:ws1Buoh1.net

ほんのり甘めのくるみパンすき

604 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 22:57:24.79 ID:YZVzwxsI.net

スケート界に戻る居場所なんて😱

605 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 23:03:43.31 ID:U+JOi9Xi.net

ほんとに売れてないのです。

606 ：１３２人目の素数さん：2024/08/19(月) 23:28:02.92 ID:Fe/mKG3x.net

うじゃうじゃいる
頑張れマネーフォワード
勇ましくも戻ってこない）2億円騙されてる可能性が高いものは事実の方がいい？